Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Линейные пространства. Примеры. Проверка, является ли множество линейным пространством. Линейная зависимость векторов и базис. Эквивалентные определения базиса. Размерность линейного пространства. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм линейных пространств.

Линейные отображения и операторы. Примеры. Основные операции над линейными отображениями. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса (без доказательства).

Теория:
[1] Линейные пространства (стр. 58-72);
[2] Линейные операторы (стр. 4-9, 13-22).

Упражнения: Семинарские задачи, Домашние задачи.

Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса (доказательство). Невырожденный оператор. Обратный оператор. Образ и ядро линейного оператора. Взаимосвязь размерностей образа и ядра оператора с размерностью линейного пространства.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен и его инвариантность относительно замены базиса. Алгоритм поиска собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Основная теорема алгебры (без доказательства). Алгебраическая и геометрическая кратность собственных значений. Теорема о кратностях.

Теория:
[1] Линейные операторы (стр. 9-13, 22-28).

Упражнения: Семинарские задачи, Домашние задачи.

Инвариантные подпространства. Свойства собственных векторов линейного оператора. Критерий существования базиса из собственных векторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Линейные формы. Преобразование матрицы линейной формы при замене координат. Билинейные формы в вещественном пространстве. Преобразование матрицы билинейной формы при замене координат.

Теория:
[1] Линейные операторы (стр. 28-42).

Упражнения: Семинарские задачи, Домашние задачи.

Проверочная работа: Условия.

Линейные формы. Преобразование матрицы линейной формы при замене координат. Билинейные формы в вещественном пространстве. Преобразование матрицы билинейной формы при замене координат.

Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Якоби.

Теория:
[1] Линейные операторы (стр. 35-51).

Упражнения: Семинарские задачи, Домашние задачи.

Знакоположительные, знакопеременные, неположительно и неотрицательно определённые квадратичные формы. Закон инерции. Критерий Сильвестра.

Полуторалинейная форма в унитарном пространстве. Замена матрицы формы при замене базиса. Введение скалярного произведения с помощью формы. Вещественные и комплексные (унитарные) пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

Теория:
[1] Линейные операторы (стр. 51-58);
[2] Линейные пространства (стр. 81-88).

Упражнения: Семинарские задачи, Домашние задачи.

Ортогональные системы, ортонормированные базисы. Теорема Шмидта (процесс ортогонализации).

Линейная и полуторалинейная форма в унитарном пространстве. Введение скалярного произведения с помощью формы.

Функции от матриц. Жорданова форма матрицы (коротко).

Теория:
[1] Линейные операторы (стр. 58-60);
[2] Линейные пространства (стр. 88-90).

Упражнения: Семинарские задачи.

Контрольная работа: Условия. Я допустил ошибку в формулировке Задачи 2 в Варианте I, когда копировал условие задачи. Конечно, нужно было найти не «матрицу» линейной формы, а координаты (то есть вектор). Эту задачу я проверял максимально лояльно.